안박사의 학교 수학 이야기(5)
안박사의 학교 수학 이야기(5)
  • 성광일보
  • 승인 2019.12.24 11:33
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안재오 / 뉴-크리에이션 아카데미 대표

최대 공약수, 최소공배수 이야기

안재오 박사

 

중학교 수학 1학기에 최대공약수와 최소 공배수 개념이 다시 나온다.
이는 초등학교에서도 일부 다루지만 중학교 때 좀 더 깊이 다루게 된다.

우선 공약수(common divisor)란 두 개 이상의 자연수의 공통의 약수를 말한다.
최대 공약수(the greatest common divisor)란 공약수중에서 가장 큰 수를 말한다.
공배수(common multiple) 이란 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수를 말한다.
최소공배수(the lowest common multiple) 란 공배수 중 가장 작은 수를 말한다.

최대 공약수와 최소공배수를 구하는 방법은 각각 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

방법 1은 소인수분해를 이용한 최대공약수 구하기 이며
방법2는 나눗셈을 이용한 최대공약수 구하기 이다.

그리고 한 가지 더 추가할 점은 모든 공약수는 최대공약수의 약수라는 사실이다.
즉 12와 30의 최대 공약수는 위의 경우에서처럼 2×3=6 이다.
따라서 12와 30의 공약수는 6의 약수 즉 1, 2 그리고 3이다. 1은 모든 수의 공약수이다.
그리고 공약수가 1밖에 없는 수를 “서로소”(coprime, relatively prime)이라고 한다.
가령 2와 7은 공약수가 1외에는 없다, 따라서 2와 7은 “서로소”이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

방법 1은 소인수분해를 이용한 최소공배수 구하기 이며
방법2는 나눗셈을 이용한 최소공배수 구하기 이다.
마찬가지로 모든 공배수는 최소공배수의 배수이다.
즉 18, 20, 30의 최소 공배수가 180이면 공배수는 180, 360, 540 ⦁⦁⦁ 등이 된다.
그리고 학생들이 이해하기 힘든 문제로서 최소공배수의 활용문제는 직육면체인 벽돌을 쌓아 정육면체로 만들기가 있다.

(문제) 가로, 세로의 길이가 20cm, 15cm이고 높이가 10cm인 벽돌을 일정한 방행으로 빈틈없이 쌓아서 가능한 작은 정육면체를 만들려고 한다.
이 때 정육면체의 한 모서리의 길이를 구하라.
(풀이) 정육면체는 가로 세로 높이가 같은 육면체라는 것을 파악한다.
그리고 “벽돌을 쌓다”는 것은 수학적으로는 배수를 구하는 것을 주지한다.
사실 이런 일상언어(ordinary language)를 수학적으로 표현하는 것이 응용문제 풀이의 핵심이다.
따라서 정육면체의 가로는 벽돌의 가로의 재수이고 정육면체의 세로는 벽돌의 세로길이의 배수이고 정육면체는 벽돌의 높이 길이의 배수라는 것을 말한다.
결국 문제는 20, 15, 10의 최소 공배수 구하는 문제로 낙착이 된다. 답 60 cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(추가 문제) 위에서 필요한 벽돌의 개수는 몇 개인가?

가로 : 60÷20= 3
세로 : 60÷15= 4
높이 : 60÷10= 6
따라서 필요한 벽돌의 개수는 3×4×6= 72 개
답 72개


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